第一章经典错误及笔记
1.函数1.复合函数2.反函数3.初等函数
2.极限1.数列的极限1.定义2.数列的有界性：3.数列的保号性：
2.函数的极限1.定义2.函数的有界性:3.函数的保号性以经典错误：4.极限值与无穷小之间的关系
3.极限存在准则1.夹逼准则2.单调有界准则
4.无穷小量5.无穷大量1.函数的无穷大量的比较2.数列的无穷大量的比较3.无穷大量的性质4.无穷大量与无界变量的关系5.无穷大量与无穷小量的关系
3.求极限1.利用基本极限求极限2.利用等级无穷小代换求极限3.利用有理运算法则求极限4.利用洛必达法则求极限5.利用夹逼原理求极限6.利用单调有界准则求极限7.利用定积分求极限
3.函数的连续性1.概念2.间断点的定义3.间断点的分类（重点）4.连续性的性质
1.函数
1.复合函数
复合函数（y=f(u)、u=g(x)）的条件： f(u)的定义域和g(x)的值域相交不为空。
结论：不是任何两个函数都可以是复合函数。
2.反函数
一个y只能对应唯一确定x，多个x可以对应同一个y。。
结论：
3.初等函数
奇函数的图形关于原点对称，且若f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0； 偶函数的图形关于y轴对称。
奇+奇=奇、偶+偶=偶、奇×奇=偶、偶×偶=偶、奇×偶=奇
周期性 1.sinx,cosx周期2π；sin2x,|sinx|周期为π。 2.若f(x)以T为周期，则f(ax+b)以T/|a|为周期（周期必须为正数，所以要加绝对值）。
有界性
2.极限
1.数列的极限
1.定义
数列{Xn}的极限与前有限项无关。
当奇数的极限等于偶数的极限是函数有极限的充分必要条件。
2.数列的有界性：
如果数列{Xn}收敛，那个数列{Xn}一定有界，反之不然。
3.数列的保号性：
1.如果A>0(或A<0)，则存在N>0，当n>N时，Xn>0(或Xn<0)。 2.如果存在N>0,当n>N时，Xn大于等于0(Xn小于等于0), A大于等于0(或A小于等于0)。
保号性之经典错误
2.函数的极限
1.定义
数列和函数中定义域的区别： 当负无穷的极限和正无穷的极限相等，是函数具有极限的充分必要条件。 例题： 需求出它的到正无穷的极限和负无穷的极限，分别为1和-1，所以函数极限不存在。
求左右边极限之经典错误
2.函数的有界性:
如果f(x)在x0处存在极限，则f(x)在x0处局部有界，反之不然。
3.函数的保号性以经典错误：
和数列的保号性定理和经典错误类似。
经典错误 例如：用g(x)(极限为A)>f(x)(极限为B)，来推出A>B。 显然是错误的。 可以化为g(x)-f(x)>0，来推出A>B,根据函数的保号性的经典错误第二条(和数列经典错误第二条类似)显然是错误，只能推出A大于等于B。
4.极限值与无穷小之间的关系
3.极限存在准则
1.夹逼准则
2.单调有界准则
单调有界数列必有极限。 单调增、有上界的数列必有极限。 单调减、有下界的数列必有极限。
4.无穷小量
无穷小的性质： 1.有限个无穷小的和仍是无穷小。 2.有限个无穷小的积仍是无穷小。 3.无穷小量与有界量的积仍是无穷小。
5.无穷大量
1.函数的无穷大量的比较
2.数列的无穷大量的比较
3.无穷大量的性质
1.两个无穷大量的积仍然是无穷大量。 2.无穷大量与有界变量之和仍然是无穷大量。
4.无穷大量与无界变量的关系
无穷大量的定义： 无界变量的定义： 无穷变量一定是无界变量，无界变量不一定是无穷变量。例如：1,0,3,0,5,0… 它是无界变量，但是它不是无穷变量。
5.无穷大量与无穷小量的关系
在同一个极限过程中，如果f(x)是一个无穷大，则1/f(x)是无穷小；反之，如果f(x)是无穷小，且f(x)不等于0，则1/f(x)是无穷大量。
3.求极限
1.利用基本极限求极限
若lim a(x)=0,lim b(x)=无穷,且lim a(x)b(x) =A,则lim(1+a(x))的b(x)次方=e的A次方。
2.利用等级无穷小代换求极限
乘数关系： 加减关系： 常用的等价无穷小：
3.利用有理运算法则求极限
若lim f(x)=A，lim g(x)=B，那么： lim (f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B,相减同理可得。 lim (f(x)*g(x))=lim f(x)lim g(x)=AB。 lim (f(x)/g(x))=lim f(x)/lim g(x)=A/B (B≠0）。
极限存在与不存在之间的的定理： 1存在+（或者-）不存在=不存在 2.不存在+（或者-）不存在=不一定 3.存在×（或者÷）不存在=不一定 4.不存在×（或者÷）不存在=不一定
常用的一些结论： 1.lim f(x)=A≠0可以得到lim f(x)g(x)可以推出Alim g(x)。 2.lim (f(x)/g(x))存在，lim g(x)=0可以推出lim f(x)=0。 3.lim (f(x)/g(x))=A不等于0，lim f(x)=0可以推出lim g(x)=0。
4.利用洛必达法则求极限
5.利用夹逼原理求极限
6.利用单调有界准则求极限
7.利用定积分求极限
3.函数的连续性
1.概念
2.间断点的定义
若f(x)在X0某去心领域有定义，但在X0处不连续，则称X0为f(x)的间断点。
3.间断点的分类（重点）
1.第一类间断点：左，右极限均存在的间断点。 可去间断点：左极限=右极限 跳跃间断点：左极限≠右极限 2.第二类间断点：左、右极限中至少有一个不存在。 无穷简断点（1/x） 振荡间断点 （sin(1/x)）
4.连续性的性质
有界限定理 1.若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界。 最值定理 2.若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。 介值定理 3.若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对f(a)与f(b)之间任一数C，至少存在一个z属于（a,b），使得f(z)=C。 零点定理 4.若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)*f(b)<0，则必存在z属于(a,b)，使得f(z)=0。